UM ESTUDO SOBRE O π NAS P-MÉRICAS: SIMETRIAS EM EXPOENTES CONJUGADOS E EXTREMOS GLOBAIS

Resumo

Neste trabalho, apresentamos inicialmente um contexto histórico de aproximações de $\pi$ até encontrar o valor de 3,1415..., que é o conhecido na métrica euclidiana. Generalizando essa métrica, obtemos a $p$-métrica, que, para $p \ge 1$, será o conjunto de métricas utilizado nesse estudo. Neste conjunto, demonstramos que o valor de $\pi$ na $p$-métrica, denotado por $\pi_p$, assume mínimo global para $p=2$ e máximo global quando $p = 1$ ou $p \rightarrow \infty$. Para apresentar esse resultado fazemos uso de ferramentas e técnicas do cálculo integral, assim como duas funções, as funções Beta e Gama, na criação de uma função para aproximação de $\pi_p$, a qual chamamos de $\Pi_p$. Além da minimalidade e maximalidade de $\pi_p$, também provamos uma propriedade que ocorre para $\pi$ nesse conjunto de métricas, mostrando que há uma noção de simetria que ocorre nos valores de $\pi_p$ e $\pi_q$ quando $p$ e $q$ são expoentes conjugados, ou seja, $\frac{1}{p}+\frac{1}{q} = 1$. Nessa situação os valores de $\pi_p$ e $\pi_q$ coincidem. Observamos que, ao alterar o valor de $p$, construímos novos valores para $\pi$ e as noções geométricas também acompanham essa alteração. Mostramos, por fim, como construir as figuras geométricas desenvolvidas neste estudo utilizando o GeoGebra.