Uma GENERALIZAÇÃO DO PEQUENO TEOREMA DE FERMAT VIA SISTEMAS DINÂMICOS E A SOLUÇÃO DE UM PROBLEMA DE L. LEVINE

Resumo

Fixado um inteiro $k\geq 1$, Levine \cite{Levine} considera o sistema dinâmico definido pela função $f(z)=z^k$ no círculo unitário $\mathbb{S}^1$ e prova que $\sum_{m|n}\mu(n/m)\mathcal{N}_m$ é divisível por $n$, generalizando assim o pequeno teorema de Fermat. A notação $\mathcal{N}_m$ indica o número de pontos fixos de $f^m$ em $\mathbb{S}^1$ e $\mu$ é a função de Möbius. Ao mesmo tempo o autor deixa em aberto uma pergunta: dada uma sequência de inteiros $(p_m)_m$ não-negativos, existe alguma função $f$ que realiza essa sequência, ou seja, $p_m=\mathcal{N}_m$ e satisfaz o critério de divisibilidade? Neste artigo revisitamos o conhecido teorema de Euler usando polinômios de Chebyshev, seguindo Carrillo e Guzmán \cite{Carrillo} e Frame \emph{et al} \cite{Frame}, e respondemos negativamente à pergunta de Levine com um argumento baseado no teorema de Sharkovsky.