SOMA ITERADA DE ALGARISMOS DE RACIONAIS E NÚMEROS PRIMOS

Abstract

Neste trabalho, estudamos as funções soma e soma iterada de algarismos estendidas ao conjunto dos números racionais com representação decimal finita e infinita. Mais especificamente, investigamos a soma de algarismos das partes periódicas de números racionais dos tipos k/q, k/(pq^n), k/q^n, em que p e q são números primos maiores que 5, k um inteiro positivo que satisfaz certas condições e n um inteiro não negativo. Quando x é uma dízima periódica de um dos tipos acima, definimos rho(x) como o número inteiro cujos dígitos são iguais aos algarismos do período de x. Feito isto, provamos que a soma iterada de algarismos de rho(x) é constante e igual a 9, o que amplia, neste sentido, o resultado principal em (Gray, 2000). Na sequência, mostramos que a soma iterada de racionais com representação finita das formas rho(x)/2^n e rho(x)/5^n são também constantes e iguais a 9, qualquer que seja o inteiro positivo n. Quando lidamos com frações em que o denominador é um primo menor ou igual a 5, fazemos algumas conjecturas sobre o comportamento da soma iterada de 1/2^n, 1/3^n e 1/5^n, para qualquer n inteiro positivo.