O SISTEMA LOTKA-VOLTERRA: MODELAGEM ECOLÓGICA DE PREDADORES E PRESAS E IMPLEMENTAÇÕES COM O SAGEMATH

Résumé

Investigaremos um caso particular do sistema Lotka-Volterra que modela uma variedade de problemas de nosso mundo, dentre eles a dinâmica ecológica envolvendo duas espécies, sendo uma de presas (com fonte abundante de alimento) e outra de predadores (que se alimenta das presas). O modelo matemático mais simples (modelo clássico) é descrito por meio de um sistema bidimensional de equações diferenciais ordinárias não lineares acopladas. Inicialmente, utilizaremos a abordagem por meio da linearização em torno dos pontos críticos de modo a entender como são localmente as trajetórias do sistema. Ainda nesta análise, a partir da solução para o caso linear, provaremos uma série de resultados para as soluções do sistema. Apesar do sistema clássico ser não linear, ele é equivalente a uma EDO separável, o que nos permite obter as soluções por meio de uma equação implícita. Para entender completamente o sistema, utilizamos o software livre SageMath, usando diversos métodos para obter soluções explícitas, numéricas e gerar gráficos associados como o campo de vetores, as trajetórias no plano de fase e como evoluem as soluções no tempo, e ainda comparamos as soluções obtidas numericamente com as soluções explícitas. Mais ainda, desenvolveremos noções qualitativas por meio da análise da estabilidade do sistema. Todas as implementações foram feitas pelos autores e são disponibilizadas ao fim deste trabalho e de maneira online, de forma que os discentes e docentes interessados possam utilizar esses recursos já construídos para enriquecer seus estudos e pesquisas.