UMA PROVA DA IRRACIONALIDADE DE 2N√ P, EM QUE P É PRIMO, POR MEIO DA TEORIA DOS RESÍDUOS QUADRÁTICOS

Resumen

Los números primos desempeñan un papel fundamental en la Teoría de Números y tienen aplicaciones que van más allá de las Matemáticas. En particular, en la Teoría de Códigos y también en la Criptografía, las propiedades de los números primos son relevantes porque permiten asegurar el almacenamiento y envío de datos de manera segura. Esto se evidencia en el comercio electrónico cuando se deben mantener en secreto datos personales. La demostración de que \sqrt{p} es un número irracional para todo número primo positivo p es conocida, si no por todos, al menos por la mayoría de los estudiantes de Matemáticas. Esta prueba generalmente se realiza a través de una propiedad básica de los números primos: si p divide el producto de dos enteros, entonces divide al menos uno de ellos. Este resultado es la base de otros igualmente importantes, como, por ejemplo, el proporcionado por el Teorema Fundamental de la Aritmética, que es el resultado fundamental de la Teoría de Números. En este artículo, presentamos una prueba de la irracionalidad de \sqrt[2n]{p} mediante resultados de la Teoría de Residuos Cuadráticos, especialmente a través de la Ley de Reciprocidad Cuadrática de Gauss.

Palabras clave: Número irracional; Número primo; Residuo cuadrático; Reciprocidad cuadrática.