NÚMEROS TRANSCENDENTES E AS EQUAÇÕES DA FORMA X^N = N^X

Résumé

Dos diversos problemas ainda não resolvidos da Matemática, alguns tratam-se de conceitos e elementos advindos da Teoria dos Números Transcendentes, podendo citar como exemplo a dificuldade em demonstrar que a natureza de um número é transcendental. A partir dos avanços nessa teoria, um dos resultados que é de extrema importância para ``construir" \ um número transcendente na forma de potência é o Teorema de Gelfond-Schneider. Inserido nesse cenário de potências transcendentes, é pouco conhecida a natureza de potências da forma n^T, com $n \in \mathbb{N}$ e $T$ transcendente. A respeito dos números $2^\pi$ e 2^e, por exemplo, ainda não se sabe se são transcendentes ou não. Diante disso, neste trabalho realizamos um estudo sobre as soluções da equação xⁿ=n^x,, com n \in N-{0,1} e x \in R-{0,1} e sua relação com números transcendentes da forma n^T, dentro das condições apresentadas. Com isso, definimos um critério de transcendência para tais potências e também destacamos que tal resultado não é único, existem outros números transcendentes que não atendem a esse critério, bem como existem números da forma n^T que são algébricos.

Palavras-chave: Números algébricos; potências transcendentes; teorema de Gelfond-Schneider.